2.30. На прямой последовательно отметили точки А, В, С и Д так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 1 см. На данной прямой найдите все такие точки Х, чтобы сумма XA + XB + XC + XD принимала наименьшее значение.

Ответ: Любая точка X на отрезке BC.

Решение:

Рассмотрим функцию f(X) = XA + XB + XC + XD.

Так как точки расположены последовательно и расстояние между любыми двумя соседними точками равно 1 см, имеем: AB = BC = CD = 1 см.

Обозначим положение точки X на числовой прямой как x, а положение точек A, B, C, D как a, b, c, d соответственно.

Тогда a = b - 1, c = b + 1, d = b + 2.

f(x) = |x - a| + |x - b| + |x - c| + |x - d| = |x - (b - 1)| + |x - b| + |x - (b + 1)| + |x - (b + 2)|.

Минимум суммы расстояний достигается, когда точка X лежит между двумя средними точками, то есть между B и C.

В этом случае XA = XB + 1, XC = 1 - XB, XD = 2 - XB.

Тогда f(x) = (XB + 1) + XB + (1 - XB) + (2 - XB) = 4.

Эта сумма не зависит от положения точки X на отрезке BC.

Если X совпадает с B, то f(x) = 1 + 0 + 1 + 2 = 4.

Если X совпадает с C, то f(x) = 2 + 1 + 0 + 1 = 4.

В любом случае, если X находится на отрезке BC, f(x) = 4.

Ответ: Любая точка X на отрезке BC.