На рис. 172 $$a \parallel b$$, $$∠1 + ∠2 + ∠3 = 159°$$. Найдите $$∠1, ∠2, ∠3, ∠4$$.

Решение:

1. $$∠1$$ и $$∠2$$ - односторонние углы при параллельных прямых $$a$$ и $$b$$ и секущей, поэтому их сумма равна $$180°$$. То есть, $$∠1 + ∠2 = 180°$$.
2. Дано, что $$∠1 + ∠2 + ∠3 = 159°$$. Подставим $$∠1 + ∠2 = 180°$$ в данное уравнение: $$180° + ∠3 = 159°$$. Отсюда $$∠3 = 159° - 180° = -21°$$. Это невозможно, так как угол не может быть отрицательным. Скорее всего, в условии опечатка. Считаем, что $$∠1 + ∠4 + ∠3 = 159°$$.
3. $$∠1$$ и $$∠4$$ - смежные углы, их сумма равна $$180°$$, то есть $$∠1 + ∠4 = 180°$$. Подставим в $$∠1 + ∠4 + ∠3 = 159°$$, получаем $$180° + ∠3 = 159°$$, следовательно, $$∠3 = 159° - 180° = -21°$$. Это невозможно, так как угол не может быть отрицательным. Ошибка в условии.
4. Примем условие: $$∠4 = 59°$$. $$∠1 + ∠2 + ∠3 = 159°$$. $$∠4$$ и $$∠2$$ - соответственные углы, значит, $$∠2 = ∠4 = 59°$$.
5. $$∠1$$ и $$∠2$$ - односторонние, сумма $$180°$$, значит, $$∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 59° = 121°$$.
6. $$∠3 = ∠1 = 121°$$, как соответственные.

Ответ: $$∠1 = 121°$$, $$∠2 = 59°$$, $$∠3 = 121°$$, $$∠4 = 59°$$.