5. На рис. 188 BD = 10 см, CD = 8 см, ∠CAD = ∠BAD. Найдите х и у.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла в треугольнике.

По условию, \(\angle CAD = \angle BAD\), то есть AD - биссектриса угла A в треугольнике ABC.

По свойству биссектрисы, биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, можно записать следующее отношение:

$$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{10}{8} = \frac{y}{x}$$

Упростим отношение:

$$\frac{5}{4} = \frac{y}{x}$$

Отсюда можно выразить y через x:

$$y = \frac{5}{4}x$$

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ADC и ADB, так как они прямоугольные:

Для треугольника ADC:

$$x^2 = AD^2 + CD^2$$ $$x^2 = AD^2 + 8^2$$ $$x^2 = AD^2 + 64$$

Для треугольника ADB:

$$y^2 = AD^2 + BD^2$$ $$y^2 = AD^2 + 10^2$$ $$y^2 = AD^2 + 100$$

Выразим (AD^2) из первого уравнения:

$$AD^2 = x^2 - 64$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$y^2 = x^2 - 64 + 100$$ $$y^2 = x^2 + 36$$

Теперь подставим (y = \frac{5}{4}x) в это уравнение:

$$(\frac{5}{4}x)^2 = x^2 + 36$$ $$\frac{25}{16}x^2 = x^2 + 36$$

Умножим обе части на 16:

$$25x^2 = 16x^2 + 576$$

Перенесем (16x^2) в левую часть:

$$9x^2 = 576$$

Разделим обе части на 9:

$$x^2 = 64$$

Извлечем квадратный корень:

$$x = 8$$

Теперь найдем y:

$$y = \frac{5}{4} \cdot 8$$ $$y = 10$$

Ответ: x = 8 см, y = 10 см