8. На рис. 2 CD = DB и ∠1 = ∠2. Найдите ∠CAD, если ∠BAD = 25°.

На рис. 2 CD = DB и ∠1 = ∠2. Найдите ∠CAD, если ∠BAD = 25°.

Так как CD = DB, то треугольник CDB равнобедренный, и углы при основании CD и DB равны (∠C = ∠B).

∠1 = ∠2, следовательно, AD - биссектриса угла CАB.

Рассмотрим треугольник ADB. В нем ∠1 = ∠2, поэтому треугольник ADB равнобедренный с основанием AB.

Пусть ∠1 = ∠2 = х. Тогда ∠CDB = 180° - (∠1 + ∠2) = 180° - 2х.

Угол ∠CDB является внешним углом треугольника ADC, поэтому ∠CDB = ∠CAD + ∠C.

180° - 2x = ∠CAD + ∠C

Так как AD - биссектриса, то ∠CAD = ∠BAD = 25°.

Имеем ∠1 = ∠2.

∠C + ∠B + ∠CDB = 180° (сумма углов треугольника CDB).

Так как CD = DB, то ∠C = ∠B.

Значит 2 ∠B + ∠CDB = 180°.

∠CDB = 180° - 2∠1.

∠CDB = ∠CAD + ∠C.

180° - 2 ∠1 = 25° + ∠C.

Т.к. ∠CAD = ∠BAD = 25°, то ∠CAB = ∠CAD + ∠BAD = 50°

Тогда в треугольнике ABC ∠ABC = ∠ACB = (180° - 50°)/2 = 130°/2 = 65°

В треугольнике CAD ∠CDA = 180° - (∠CAD + ∠C)

∠1 + ∠2 = 180° - ∠CDA = ∠CAD + ∠C

∠1 = ∠2

∠C = 65°

∠CAD = ∠BAD = 25°

Ответ: 25°