3. На рис. 68 ВЕ= 12 см, АЕ =6 см, СЕ = 36 см, DE = = 18 см. Докажите подобие треугольников АВЕ и DCE и найдите отношение S₁: S₂.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ABE и DCE.
   • Угол AEB равен углу DEC как вертикальные углы.
2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам:
   • \[\frac{AE}{DE} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\]
   • \[\frac{BE}{CE} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\]
3. Так как \(\frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE}\), и угол между этими сторонами равен, то треугольники ABE и DCE подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).
4. Найдем отношение площадей этих треугольников. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k равен \(\frac{1}{3}\), следовательно, отношение площадей будет:
   • \[\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\]
5. Таким образом, отношение площадей S₁: S₂ равно 1:9.