5. На рисунке ∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠BDC, ∠ADC = 140°. Найдите угол DAC.

Дано: ∠ABD = ∠CBD, ∠ADB = ∠BDC, ∠ADC = 140°. Найти: ∠DAC. Решение: 1) ∠ADB = ∠BDC = ∠ADC / 2 = 140° / 2 = 70°. 2) Рассмотрим треугольник ΔBDC. ∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠DCB 3) Рассмотрим треугольник ΔADC. ∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠DCA 4) Так как ∠ABD = ∠CBD, то BD - биссектриса угла ABC. 5) Так как ∠ADB = ∠BDC, то BD - биссектриса угла ADC. 6) Следовательно, BD - общая сторона. 7) Значит, треугольники ΔABD и ΔCBD равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак). 8) Следовательно, ∠BAD = ∠BCD и AD = CD. 9) Тогда треугольник ΔADC - равнобедренный с основанием AC. 10) Значит, ∠DAC = ∠DCA. 11) ∠DAC = (180° - ∠ADC) / 2 = (180° - 140°) / 2 = 40° / 2 = 20°. Ответ: 20°