2. На рисунке ∠BAD = 37°, ∠BCD = 52°, BD -- медиана треугольника АВС, BD = DE. Найдите ∠DCE. 1) 52° 3) 74° 2)37° 4)91°

Поскольку BD - медиана треугольника ABC и BD = DE, то треугольники ABD и BDC равнобедренные. Рассмотрим треугольник BDE. Так как BD = DE, то треугольник BDE - равнобедренный, и углы при его основании равны: ∠DBE = ∠DEB.

∠ADB = 180° - 37° - ∠ABD

∠BDC = 180° - 52° - ∠DBC

Поскольку BD - медиана, то AD = DC. Значит, треугольники ABD и BDC имеют общую высоту, и их площади равны. Это выполняется, когда ∠ABD = ∠DEB.

Рассмотрим треугольник ABC. ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC

∠A = 37°, ∠C = 52°

∠ABC = 180° - 37° - 52° = 91°

Так как BD = DE, то ∠DBE = ∠DEB. ∠BDE = 180° - ∠DBE - ∠DEB = 180° - 2∠DBE

∠BDC = ∠BDE + ∠EDC

Поскольку AD = DC, то ∠ABD = ∠DEB = ∠DCE

Сумма углов треугольника BCD равна 180°: ∠DBC + ∠BCD + ∠BDC = 180°

∠BCD = 52°

Пусть ∠DCE = x. Тогда ∠DEB = x. ∠DBE = x.

∠DBC = 91° - x

∠BDC = 180° - 52° - (91° - x) = 37° + x

∠BDE = 180° - 2x

∠BDC = ∠BDE + ∠EDC

37° + x = 180° - 2x + ∠EDC

Так как BD = DE, то ∠DEB = ∠DBE = x. Значит, ∠EDC = 180° - x - 52° = 128° - x

37° + x = 180° - 2x + 128° - x

4x = 271°

x = 67.75°

Но такого ответа нет.

Поскольку BD - медиана треугольника ABC и BD = DE, то ∠DCE = ∠DBE.

Треугольник BDE - равнобедренный, значит ∠E = ∠DBE. ∠BAD = 37. Рассмотрим треугольник ABD.

Пусть ∠ABD = x, тогда ∠BDE = 180 - 2x. ∠BDC = 180 - 52 - (91 -x) = 37 + x.

∠BDE + ∠EDC = 37 + x, ∠EDC = 180 - 52 - ∠E = 128 - ∠E = 128 - x

180 - 2x + 128 - x = 37 + x

4x = 271

x = 67.75

Предположим, что BD = AD = DC

Тогда ∠ABD = ∠BAD = 37

∠DBC = 91 - 37 = 54

∠BDC = ∠BCD = 52

Тогда сумма углов BCD 52 + 52 + 54 = 158 (не подходит)

Рассмотрим треугольник BCD, ∠BCD = 52, ∠DBC = x, ∠BDC = 180 - 52 - x

В треугольнике BDE, ∠DBE = ∠E = x

∠BDE = 180 - 2x

Рассмотрим четырехугольник ABDE. Сумма углов 360 градусов. ∠A + ∠E + ∠B + ∠BDE = 360

37 + x + 91 + 180 - 2x = 360

-x = 360 - 308 = 52

x = -52 (не подходит)

Поскольку BD=DE, то треугольник BDE - равнобедренный, значит ∠DBE = ∠DEB.

Предположим ∠DCE = 37, тогда треугольник BDC - равнобедренный ∠DBC = ∠DCB = 52, тогда ∠BDC = 180 - 52 - 52 = 76.

∠ABC = 52 + 37 = 89 (не подходит)

Поскольку BD - медиана треугольника ABC, то AD = DC. Треугольник BDE равнобедренный ∠E = ∠DBE

Пусть ∠E = 37

Тогда ∠DCE = 37, ∠DBC = 52.∠BDC = 180 - 52 - 37 = 91, а ∠ADB = 180 - 91 = 89. ∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180. 37 + ∠ABD + 89 = 180.

∠ABD = 54, не равно ∠E. Такого быть не может. Ответ: 2) 37°