4. На рисунке 274 ∠AOB = ∠COD, ∠AOC = ∠COE. Докажите, что ∠BOC = ∠DOE. Углы DEF и MEF смежные, луч EK - биссектриса угла DEF, угол KEF в 4 раза меньше угла MEF. Найдите углы DEF и MEF.

4.1 Доказательство ∠BOC = ∠DOE:

Дано: ∠AOB = ∠COD, ∠AOC = ∠COE

Доказать: ∠BOC = ∠DOE

Доказательство:

1. ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
2. ∠COE = ∠COD + ∠DOE
3. Так как ∠AOC = ∠COE, то ∠AOB + ∠BOC = ∠COD + ∠DOE
4. Так как ∠AOB = ∠COD, то ∠BOC = ∠DOE

Что и требовалось доказать.

4.2 Нахождение углов DEF и MEF:

Углы DEF и MEF смежные, значит ∠DEF + ∠MEF = 180°. Луч EK - биссектриса угла DEF, значит ∠KEF = ∠DEF / 2. Угол KEF в 4 раза меньше угла MEF, значит ∠MEF = 4 * ∠KEF.

Решение:

1. Пусть ∠KEF = x, тогда ∠DEF = 2x, ∠MEF = 4x.
2. Так как ∠DEF + ∠MEF = 180°, то 2x + 4x = 180°.
3. 6x = 180°
4. x = 30°
5. ∠KEF = 30°
6. ∠DEF = 2 * 30° = 60°
7. ∠MEF = 4 * 30° = 120°

Ответ: ∠DEF = 60°, ∠MEF = 120°.