276. На рисунке 260 ∠BAC = 90°, HK ⊥ AC, AК = 4 см, КС = 12 см, АВ = 8 см. Найдите НК.

Рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный (∠BAC = 90°). AC = AK + KC = 4 + 12 = 16 см. HK ⊥ AC, следовательно, треугольник AHK тоже прямоугольный.

Треугольники AHK и ABC подобны по двум углам (∠A - общий, ∠AKH = ∠ACB = 90°). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{AK}{AB} = \frac{HK}{BC} $$

Чтобы найти BC, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABC:

$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $$ $$ BC^2 = 8^2 + 16^2 = 64 + 256 = 320 $$ $$ BC = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5} $$

Теперь из пропорции найдем HK:

$$ \frac{4}{8} = \frac{HK}{8\sqrt{5}} $$ $$ HK = \frac{4 \cdot 8\sqrt{5}}{8} = 4\sqrt{5} $$

Ответ: HK = $$4\sqrt{5}$$ см