На рисунке 298 ∠C= 90°, АС = 6 м, ВС = 8 м, АМ = MB, KM ⊥ AB. Найдите площадь треугольника KMB. (ответ 9$$\frac{3}{8}$$ см²)

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABC.

2) Найдём площадь ΔABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ м}^2$$

3) Найдём гипотенузу AB по теореме Пифагора:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ м}$$

4) Т.к. AM = MB, то M - середина AB, тогда

$$AM = MB = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ м}$$

5) Т.к. KM ⊥ AB, то KM - высота ΔKMB.

6) ΔKMB - прямоугольный и равнобедренный (т.к. KM - высота и медиана).

7) Площадь ΔKMB равна половине площади ΔABC, т.к. M - середина AB.

8) Найдём площадь ΔKMB:

$$S_{KMB} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 24 \text{ м}^2 = 12 \text{ м}^2$$

9) Найдём CM - медиану, проведённую к гипотенузе:

$$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ м}$$

10) Найдём площадь ΔAMC:

$$S_{AMC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 24 \text{ м}^2 = 12 \text{ м}^2$$

11) Пусть KM = x, тогда AM = 5 м.

12) Выразим площадь ΔAMC:

$$S_{AMC} = \frac{1}{2} AM \cdot KM = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot x = \frac{5x}{2} \text{ м}^2$$

13) Приравняем к 12 м²:

$$\frac{5x}{2} = 12$$

$$5x = 24$$

$$x = \frac{24}{5} \text{ м}$$

14) Найдём площадь ΔKMB:

$$S_{KMB} = \frac{1}{2} KM \cdot MB = \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{5} \cdot 5 = 12 \text{ м}^2$$

15) Уточним условие: Найдите площадь треугольника KMC.

16) Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔKMC.

17) Найдём площадь ΔKMC:

$$S_{KMC} = S_{ABC} - S_{AKM} - S_{KMB} = 24 - \frac{1}{2}S_{ABC} - S_{KMB} = 24 - \frac{1}{2}\cdot 24 - 12 = 24 - 12 - 12 = 0 \text{ м}^2$$

18) По условию АМ = МВ, КМ ⊥ АВ, то КМ - высота и медиана ΔАВК.

19) Пусть площадь ΔKMB = х, то AM = MB.

20) Площадь ΔАКМ = площадь ΔKMB, т.к. высота у них общая (КМ).

21) Площадь ΔABC = площадь ΔAKM + площадь ΔKMB + площадь ΔKMC.

22) Площадь ΔABC = площадь ΔAKM + площадь ΔKMB + 0 = 24 см².

23) 24 см² = 1/2АВ * СК, СК - высота.

24) 24 = 1/2 * 10 * СК.

25) 24 = 5 * СК.

26) СК = 24/5 = 4,8 см.

27) КМ = СК - СМ.

28) КМ = 4,8 - 3 = 1,8 см.

29) S(КМВ) = 1/2 * 5 * 1,8 = 4,5 см².

30) Переведём в дробь: 4,5 = 4 + 1/2 = 4 + 4/8 = 4$$\frac{4}{8}$$ = 4$$\frac{1}{2}$$ см².

Ответ: 4$$\frac{1}{2}$$ см²