1347 На рисунке 416 ABCD — параллелограмм. По данным этого рисунка найдите отношение площадей: а) треугольников DPQ и АРВ; б) треугольников DPQ и CBQ.

а) Рассмотрим треугольники DPQ и APB. Угол DPQ = углу APB как вертикальные. Угол PDQ = углу PBA как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, треугольник DPQ подобен треугольнику APB по двум углам.

Найдем коэффициент подобия:

$$k = \frac{DQ}{AB} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{DPQ}}{S_{APB}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$

б) Рассмотрим треугольники DPQ и CBQ. Угол DQP = углу CQB как вертикальные. Угол QDP = углу QCB как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей DC. Следовательно, треугольник DPQ подобен треугольнику CBQ по двум углам.

Найдем коэффициент подобия:

$$k = \frac{DQ}{BC} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{DPQ}}{S_{CBQ}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ: а) $$\frac{S_{DPQ}}{S_{APB}} = \frac{4}{9}$$; б) $$\frac{S_{DPQ}}{S_{CBQ}} = \frac{4}{9}$$.