1346 В треугольник АВС вписан параллелограмм АРИМ так, как показано на рисунке 415. Известно, что АС = 32 см, АВ = 24 см, а стороны параллелограмма относятся к друг другу как 4:3. Определите длины сторон параллелограмма.

Пусть AP = 4x, AM = 3x. Так как APIM - параллелограмм, то IM || AP и PI || AM. Следовательно, IM || AC и PI || AB.

Рассмотрим треугольник ABC и треугольник IMB. Угол B - общий, угол IMB = углу A (как соответственные при IM || AC), следовательно, треугольник ABC подобен треугольнику IMB по двум углам.

Запишем отношение сторон:

$$\frac{IM}{AC} = \frac{IB}{AB}$$

Выразим IB = AB - AI = 24 - 3x. Подставим известные значения:

$$\frac{4x}{32} = \frac{24 - 3x}{24}$$

Решим уравнение:

$$4x \cdot 24 = 32 \cdot (24 - 3x)$$ $$96x = 768 - 96x$$ $$192x = 768$$ $$x = 4$$

AP = 4x = 4 \cdot 4 = 16 см

AM = 3x = 3 \cdot 4 = 12 см

Ответ: AP = 16 см, AM = 12 см.