1343 При данном движении каждая из вершин треугольника АВС отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

Доказательство:

Пусть задано движение плоскости. Так как при движении каждая вершина треугольника АВС отображается на себя, то точки А, В и С неподвижны при данном движении. Рассмотрим произвольную точку М на плоскости.

Расстояние от точки М до точек А, В и С сохраняется при движении. То есть, если при движении точка М переходит в точку М', то AM = AM', BM = BM', CM = CM'.

Точка М однозначно определяется своими расстояниями до трех фиксированных точек (А, В, С), следовательно, точка M' совпадает с точкой М. Таким образом, любая точка плоскости отображается на себя.

Ответ: доказано.