139 На рисунке 76 AB=CD, AD = BC, BE – биссектриса угла АВС, а DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; 6) ΔΑΒΕ = ACDF.

a) Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого AB = CD и AD = BC. Докажем, что ABCD - параллелограмм.

1. Проведем диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
2. В этих треугольниках AC - общая сторона, AB = CD и AD = BC по условию.

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов: ∠BCA = ∠CAD и ∠BAC = ∠DCA. Углы BCA и CAD - накрест лежащие при прямых BC и AD и секущей AC, углы BAC и DCA - накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC. Значит, BC || AD и AB || CD. Следовательно, четырехугольник ABCD - параллелограмм по определению.

В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, ∠ABC = ∠ADC.

По условию BE - биссектриса угла ABC, а DF - биссектриса угла ADC, следовательно, ∠ABE = 1/2 ∠ABC, ∠ADF = 1/2 ∠ADC. Так как ∠ABC = ∠ADC, то ∠ABE = ∠ADF.

б) Рассмотрим треугольники ABE и CDF:

1. AB = CD (по условию).
2. ∠ABE = ∠ADF (доказано в пункте а).

Т.к. ABCD - параллелограмм, то AD = BC. Т.к. BE и DF - биссектрисы углов ABC и ADC соответственно, то ∠CBE = 1/2 ∠ABC, ∠ADF = 1/2 ∠ADC.

Следовательно, треугольники ABE и CDF равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак равенства треугольников).

Ответ: доказано