144. На рисунке 82 AB=CD, AD = BC, ВЕ – биссектриса угла ABC, а DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; б) ΔABE = ΔCDF.

a) Докажем равенство углов ∠ABE и ∠ADF.

1. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
2. AB = CD, AD = BC (по условию).
3. AC - общая сторона.
4. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам.
5. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠ABC = ∠CDA.
6. Так как BE - биссектриса угла ABC, то ∠ABE = 1/2 * ∠ABC.
7. Так как DF - биссектриса угла ADC, то ∠ADF = 1/2 * ∠ADC.
8. Поскольку ∠ABC = ∠CDA, то 1/2 * ∠ABC = 1/2 * ∠CDA, следовательно, ∠ABE = ∠ADF.

б) Докажем равенство треугольников ΔABE и ΔCDF.

1. Рассмотрим треугольники ABE и CDF.
2. AB = CD (по условию).
3. ∠BAE = ∠DCF (из равенства треугольников ABC и CDA).
4. ∠ABE = ∠ADF (доказано в пункте a)).
5. Следовательно, треугольники ABE и CDF равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).