6. На рисунке 11 АД – биссектриса треугольника АВС, АО = = ОД, МОШАД. Докажите, что МД || АВ.

Дано: AD - биссектриса треугольника ABC, AO = OD, MO ⊥ AD.

Доказать: MD || AB.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник AMO и треугольник DMO. У них общая сторона MO, AO = OD (по условию), и углы AMO и DMO прямые (так как MO ⊥ AD). Следовательно, треугольники AMO и DMO равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
2. Из равенства треугольников AMO и DMO следует, что AM = MD и ∠MAO = ∠MDO.
3. Так как AD - биссектриса угла BAC, то ∠BAD = ∠CAD. Обозначим эти углы как α, то есть ∠BAD = ∠CAD = α.
4. Угол ∠MAO равен углу ∠CAD, так как это один и тот же угол. Следовательно, ∠MAO = α.
5. Из пункта 2 следует, что ∠MDO = ∠MAO = α.
6. Теперь рассмотрим углы ∠BAD и ∠MDO. Они равны (оба равны α) и являются соответственными углами при прямых AB и MD и секущей AD.
7. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, MD || AB.

Ответ: MD || AB.