4. На рисунке 9 лучи ВО и СО – биссектрисы углов В и С треугольника АВС. На сторонах АВ и АС отмечены точки М и N так, что BM = MO, CN = NO. Докажите, что точки М, О и N лежат на одной прямой.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться знаниями о биссектрисах углов треугольника и свойствах равнобедренных треугольников.

Доказательство:

1. Так как ВО – биссектриса угла В, то ∠MBO = ∠OBC.
2. По условию, BM = MO, следовательно, треугольник BMO – равнобедренный, и углы при основании равны: ∠MBO = ∠MOB.
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что ∠MOB = ∠OBC.
4. Аналогично, так как СО – биссектриса угла С, то ∠NCO = ∠OCB.
5. По условию, CN = NO, следовательно, треугольник CNO – равнобедренный, и углы при основании равны: ∠NCO = ∠NOC.
6. Из пунктов 4 и 5 следует, что ∠NOC = ∠OCB.
7. Теперь рассмотрим углы ∠MOB, ∠NOC и ∠BOC. Сумма этих углов должна быть равна 180°, чтобы точки M, O и N лежали на одной прямой.
8. ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB), так как сумма углов треугольника BOC равна 180°.
9. Подставим известные углы: ∠MOB + ∠NOC + ∠BOC = ∠OBC + ∠OCB + 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180°.
10. Таким образом, сумма углов ∠MOB, ∠NOC и ∠BOC равна 180°, что означает, что точки M, O и N лежат на одной прямой.

Ответ: Точки M, O и N лежат на одной прямой.