5. На рисунке 10 АЕ – биссектриса треугольника АВС, АД = = ДЕ, АЕ = CE, ∠ACB = 37°. Найдите ∠BDE.

Для решения данной задачи необходимо найти ∠BDE, используя известные свойства углов и биссектрис в треугольнике.

1. Треугольник АЕС равнобедренный:

   Так как AE = CE, то треугольник AEC - равнобедренный. Значит, ∠EAC = ∠ECA = 37°.

2. Угол АЕС:

   В треугольнике AEC, ∠AEC = 180° - ∠EAC - ∠ECA = 180° - 37° - 37° = 106°.

3. Смежный угол АЕB:

   ∠AEB = 180° - ∠AEC = 180° - 106° = 74°.

4. Угол ВАЕ:

   Так как АЕ - биссектриса ∠BAC, то ∠BAE = ∠EAC = 37°.

5. Треугольник АDЕ равнобедренный:

   Так как AD = DE, то треугольник ADE - равнобедренный. Значит, ∠DAE = ∠DEA.

6. Угол ADE:

   ∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠DEA = 180° - 2 * ∠DAE

   Но ∠DAE = ∠BAE = 37°, следовательно ∠ADE = 180° - 2 * 37° = 180° - 74° = 106°.

7. Угол BDA:

   Угол BDA смежный с углом ADE. Значит, ∠BDA = 180° - ∠ADE = 180° - 106° = 74°.

8. Угол АВЕ:

   В треугольнике ABE, ∠ABE = 180° - ∠BAE - ∠AEB = 180° - 37° - 74° = 69°.

9. Угол BDE:

   Рассмотрим треугольник ABD. ∠BAD = 37°. ∠ABD = 69°. Тогда ∠ADB = 180° - ∠BAD - ∠ABD = 180° - 37° - 69° = 74°. Так как ∠ADE = 106°, ∠BDE = ∠ADE - ∠ADB = 106° - 74° = 32°.

Ответ: ∠BDE = 32°.