1. На рисунке 62 AM = AN, ∠MNC = 117°, ∠ABC = 63°. Докажите, что MN || BC.

Для доказательства параллельности прямых MN и BC, необходимо доказать, что углы MNC и угол C (угол ACB) являются соответственными и равны, или что углы между MN и BC с секущей NC в сумме дают 180 градусов.

Поскольку AM = AN, треугольник AMN - равнобедренный. Следовательно, углы при основании AN равны: ∠AMN = ∠ANM.

Сумма углов в треугольнике AMN равна 180 градусам. Пусть ∠AMN = ∠ANM = x. Тогда:

$$x + x + ∠MAN = 180°$$

Мы знаем, что ∠MNC - внешний угол треугольника AMN при вершине N. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Следовательно:

$$ ∠MNC = ∠MAN + ∠AMN $$

Мы знаем, что ∠MNC = 117°. Подставим это значение:

$$ 117° = ∠MAN + x $$

Выразим ∠MAN из этого уравнения:

$$ ∠MAN = 117° - x $$

Подставим это выражение для ∠MAN в уравнение суммы углов треугольника AMN:

$$ x + x + (117° - x) = 180° $$

$$ x + 117° = 180° $$

$$ x = 180° - 117° $$

$$ x = 63° $$

Таким образом, ∠ANM = 63°.

Теперь рассмотрим углы ∠ANM и ∠ABC. ∠ABC = 63° (дано), и ∠ANM = 63° (мы нашли). Следовательно, ∠ANM = ∠ABC.

Поскольку ∠ANM и ∠ABC являются соответственными углами при прямых MN и BC и секущей AB, и они равны, то MN || BC.

Ответ: MN || BC, что и требовалось доказать.