Решение задачи 7.2

1. Доказательство, что ∠1 = ∠2
   

   Дано: AB = BC (треугольник ABC равнобедренный).
   Доказать: ∠1 = ∠2.

   
   

   Доказательство:
   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ∠1 и ∠2 - углы при основании AC треугольника ABC. Следовательно, ∠1 = ∠2.

   
   


2. Нахождение углов ABD, ADB и длины отрезка AD
   

   Дано: BD - биссектриса, AB = BC, AC = 18 см, ∠DBC = 21°.
   Найти: ∠ABD, ∠ADB, AD.

   
   

   Решение:
   Т.к. BD - биссектриса, то ∠ABD = ∠DBC = 21°.
   ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 21° + 21° = 42°.

   
   

   Т.к. AB = BC, то ∠BAC = ∠BCA. Значит, ∠BAC = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 42°) / 2 = 69°.

   
   

   Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, ∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = 180° - 21° - 69° = 90°.

   
   

   Т.к. ∠ADB = 90°, то BD - высота. Следовательно, BD является и медианой. Значит, AD = AC / 2 = 18 см / 2 = 9 см.

   
   

Ответ: ∠ABD = 21°, ∠ADB = 90°, AD = 9 см.