166. На рисунке 262 две окружности имеют общий центр O. Через точку M большей окружности проведены касательные MB и MC к меньшей окружности. Найдите MK, если радиус большей окружности равен 12 см, а \(\angle BMC = 120^\circ\).

Пусть радиус меньшей окружности равен r, а радиус большей окружности R = 12 см. Так как MB и MC - касательные к меньшей окружности, то \(\angle OBM = \angle OCM = 90^\circ\). Четырехугольник OBMC состоит из двух прямоугольных треугольников OBM и OCM. Рассмотрим треугольник OMB. Мы знаем, что \(\angle BMC = 120^\circ\), следовательно, \(\angle OMB = \angle OMC = 120^\circ / 2 = 60^\circ\). В прямоугольном треугольнике OMB, \(\angle MOB = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Тогда \(MB = r \cdot \cot 60^\circ = \frac{r}{\sqrt{3}}\) и \(OM = \frac{r}{\sin 30^\circ} = 2r\). Поскольку точка M лежит на большей окружности, то OM = R = 12 см. Значит, 2r = 12 см, и r = 6 см. Теперь рассмотрим треугольник OMK. ОК = r = 6см, OM = R = 12см, следовательно MK = R + r = 12 + 6 = 18см Ответ: MK = 6 см