163. Прямая касается окружности с центром O в точке D. На касательной по разные стороны от точки D отметили точки E и F такие, что \(\angle OED = \angle OFD\). Найдите угол FOD, если \(\angle EOD = 54^\circ\).

Поскольку \(\angle OED = \angle OFD\), треугольники OED и OFD равны по двум сторонам (OD - общая, OE = OF как радиусы) и углу между ними. Значит, \(\angle ODE = \angle ODF\). Так как прямая касается окружности в точке D, \(\angle ODE = 90^\circ\) и \(\angle ODF = 90^\circ\). Теперь рассмотрим треугольник ODE. Мы знаем, что \(\angle ODE = 90^\circ\) и \(\angle EOD = 54^\circ\). Значит, \(\angle OED = 180^\circ - 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ\). Поскольку \(\angle OED = \angle OFD\), то \(\angle OFD = 36^\circ\). Теперь мы можем найти \(\angle FOD\) в треугольнике OFD: \(\angle FOD = 180^\circ - 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ\). Ответ: \(\angle FOD = 54^\circ\)