1. На рисунке 15 MO || NP, OP = 20 см, РК = 8 см, MN = 15 см. Найдите отре- зок NK.

По теореме Фалеса, если параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки, то:

$$ \frac{OK}{PK} = \frac{OM}{MN}$$

Пусть NK = x, тогда OK = PK + x = 8 + x. Найдем OM из пропорции:

$$ \frac{OM}{NP} = \frac{OK}{PK} $$

Так как MO || NP, то углы MOP и OPN - соответственные и равны. Углы MKO и OKN тоже соответственные и равны. Значит, треугольники MOK и NPK подобны, следовательно:

$$ \frac{OK}{PK} = \frac{OM}{NP} $$

Из условия, что OP = 20 см и PK = 8 см, следует, что NK = OP - PK = 20 - 8 = 12 см.

Подставим известные значения:

$$ \frac{OK}{PK} = \frac{8 + x}{8} $$

Так как NP = MN = 15 см, то:

$$ \frac{OM}{15} = \frac{20}{8} $$

Отсюда:

$$ OM = \frac{15 \cdot 20}{8} = \frac{300}{8} = 37.5 $$

Из пропорции:

$$ \frac{NK}{MN} = \frac{PK}{OK} $$ $$ \frac{x}{15} = \frac{8}{8+x} $$ $$ x(8+x) = 15 \cdot 8 $$ $$ 8x + x^2 = 120 $$ $$ x^2 + 8x - 120 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 64 + 480 = 544 $$ $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{544}}{2} = \frac{-8 + 4\sqrt{34}}{2} = -4 + 2\sqrt{34} $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{544}}{2} = \frac{-8 - 4\sqrt{34}}{2} = -4 - 2\sqrt{34} $$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, берем положительное значение.

$$ x = -4 + 2\sqrt{34} $$

Тогда

$$ NK = -4 + 2\sqrt{34} \approx 7.66 $$

Ответ: $$NK \approx 7.66 \text{ см} $$