На рисунке 15 MO || NP, OР = 20 см, РК = 8 см, МN = 15 см. Найдите отре- зок №К.

Рассмотрим $$ \triangle MOK $$ и $$ \triangle NPK $$.

Т.к. $$ MO \parallel NP $$, то $$ \angle M = \angle N $$, как соответственные углы при параллельных прямых и секущей MK; $$ \angle O = \angle P $$, как соответственные углы при параллельных прямых и секущей OK.

Следовательно, $$ \triangle MOK \sim \triangle NPK $$ по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

Запишем отношение сходственных сторон:

$$ \frac{MO}{NP} = \frac{OK}{PK} = \frac{MK}{NK} $$.

Заметим, что $$ MK = MN + NK $$, тогда $$ \frac{MK}{NK} = \frac{MN + NK}{NK} = \frac{MN}{NK} + 1 $$.

Выразим $$ \frac{MO}{NP} $$ через известные отрезки. Для этого рассмотрим рисунок и дополним его необходимыми построениями.

 M ------------- N
 |               |
 |               |
 O ------------- P -------------- K

Т.к. $$ MO \parallel NP $$, то $$ \frac{MO}{NP} = \frac{OK}{PK} $$. Отсюда следует, что $$ \frac{MK}{NK} = \frac{OK}{PK} $$.

Выразим $$ NK $$ из пропорции $$ \frac{MN}{NK} + 1 = \frac{OK}{PK} $$.

$$ \frac{MN}{NK} = \frac{OK}{PK} - 1 $$.

$$ \frac{MN}{NK} = \frac{OK - PK}{PK} $$.

$$ NK = \frac{MN \cdot PK}{OK - PK} $$.

Вычислим длину отрезка OK.

$$ OK = OP + PK $$.

$$ OK = 20 + 8 = 28 $$ см.

Найдем NK.

$$ NK = \frac{15 \cdot 8}{28 - 8} = \frac{120}{20} = 6 $$ см.

Ответ: 6 см.