3. На рисунке AB = BC, ∠DBC = 120°. Докажите, что ΔABC – равносторонний.

Дано: AB = BC, ∠DBC = 120°. Доказать: ΔABC – равносторонний. Решение: 1. Угол ∠ABC и ∠DBC – смежные, значит, их сумма равна 180°. ∠ABC = 180° - ∠DBC = 180° - 120° = 60°. 2. Так как AB = BC, то треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA. 3. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180° ∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠ABC = 180° - 60° = 120° Так как ∠BAC = ∠BCA, то ∠BAC = ∠BCA = 120° / 2 = 60°. 4. Итак, ∠ABC = 60°, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 60°. Значит, все углы треугольника ABC равны 60°, следовательно, треугольник ABC – равносторонний. Что и требовалось доказать.