На рисунке AB = 35 см, ∠B = 90°, BC = CD = 20 см, ∠D = 90°. Найдите DK.

Дано:

• AB = 35 см
• \(\angle\) B = 90^\(\circ\)
• BC = 20 см
• CD = 20 см
• \(\angle\) D = 90^\(\circ\)

Найти: DK

Решение:

На рисунке изображены два прямоугольных треугольника: ABC и KDC.

1. Анализ треугольника ABC:

• Это прямоугольный треугольник, так как \(\angle\) B = 90^\(\circ\).
• AB = 35 см, BC = 20 см.
• По теореме Пифагора найдем AC:
• AC^2 = AB^2 + BC^2
• AC^2 = 35^2 + 20^2
• AC^2 = 1225 + 400 = 1625
• AC = \(\sqrt{1625}\) = \(\sqrt{25 × 65}\) = 5\(\sqrt{65}\) см.

2. Анализ треугольника KDC:

• Это прямоугольный треугольник, так как \(\angle\) D = 90^\(\circ\).
• CD = 20 см.
• Углы ∠ACB и ∠DCK вертикальные, поэтому они равны.
• Углы ∠BAC и ∠CKD также равны, так как оба треугольника прямоугольные и имеют равные острые углы (ACD - секущая, AB || CK - это неверно, т.к. CD перпендикулярно AB, если бы CD было параллельно AB).
• Важно: На рисунке видно, что AC и KD пересекаются в точке C. Это значит, что BC и CD являются катетами прямоугольных треугольников.
• Пересмотр: Треугольник ABC прямоугольный \(\angle B = 90^\circ\). Треугольник CDK прямоугольный \(\angle D = 90^\circ\).
• Углы ∠ACB и ∠DCK - вертикальные, следовательно, \(\angle\) ACB = \(\angle\) DCK.
• Из равенства вертикальных углов и того, что оба треугольника прямоугольные, следует, что треугольники ABC и KDC подобны по первому признаку подобия (два угла).
• Найдем отношение подобия:
• \(\frac{AB}{CK}\) = \(\frac{BC}{CD}\) = \(\frac{AC}{KC}\)
• Подставляем известные значения:
• \(\frac{35}{CK}\) = \(\frac{20}{20}\)
• \(\frac{35}{CK}\) = 1
• CK = 35 см.
• Теперь найдем KD, используя теорему Пифагора для треугольника CDK:
• KC^2 = CD^2 + DK^2
• 35^2 = 20^2 + DK^2
• 1225 = 400 + DK^2
• DK^2 = 1225 - 400 = 825
• DK = \(\sqrt{825}\) = \(\sqrt{25 × 33}\) = 5\(\sqrt{33}\) см.

Ответ: 5\(\sqrt{33}\) см