На рисунке ABCD — трапеция, M и N — середины боковых сторон AB и CD, MN ∥ AD ∥ BC, диагональ AC пересекает MN в точке O. Доказать: AO = CO.

Пусть основания трапеции параллельны оси x. Обозначим координаты вершин A = (0, 0), D = (d, 0), B = (u, h), C = (u + b, h), где b = BC.

Поскольку M и N — середины боковых сторон, прямая MN проходит на половине высоты трапеции, то есть имеет координату y = h/2.

Диагональ AC соединяет A = (0, 0) и C = (u + b, h). На высоте h/2 она достигает середины отрезка AC. Следовательно, точка пересечения O — середина AC, поэтому AO = CO.

Доказано: AO = CO.