5. На рисунке АС || МК, ОА – биссектриса угла МОВ, ВК – биссектриса угла СВО. Докажите, что AO || BK.

Доказательство:

$$\angle MOA = \angle BOA$$ (так как $$OA$$ - биссектриса $$\angle MOB$$).

$$\angle CBO = \angle OBK$$ (так как $$BK$$ - биссектриса $$\angle CBO$$).

$$\angle MOB = \angle CBO$$ (как соответственные углы при параллельных прямых $$AC$$ и $$MK$$ и секущей $$BC$$).

Тогда $$\angle MOB = \angle MOA + \angle AOB = 2 \angle AOB$$ и $$\angle CBO = \angle CBO + \angle KBO = 2 \angle KBO$$.

Получаем, что $$2 \angle AOB = 2 \angle KBO$$, следовательно, $$\angle AOB = \angle KBO$$.

$$\angle AOB$$ и $$\angle KBO$$ - накрест лежащие углы при прямых $$AO$$ и $$BK$$ и секущей $$OB$$. Так как $$\angle AOB = \angle KBO$$, то $$AO \parallel BK$$ (по признаку параллельности прямых).

Ответ: $$AO \parallel BK$$.