1. На рисунке EF || SQ. а) Докажите, что FC:CS=EC:CQ. б) Найдите FE, если CS=5 см, FS=13 см, SQ=15 см.

1. На рисунке EF || SQ.

а) Докажем, что FC:CS=EC:CQ.

Рассмотрим треугольники FCE и SCQ.

∠FCE = ∠SCQ как вертикальные углы.

Так как EF || SQ, то ∠FEC = ∠SQC как соответственные углы при параллельных прямых EF и SQ и секущей FC.

Следовательно, треугольники FCE и SCQ подобны по двум углам (1 признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: FC/SC = EC/QC.

FC:CS=EC:CQ

б) Найдем FE, если CS=5 см, FS=13 см, SQ=15 см.

Рассмотрим треугольники FSQ и FEC.

∠F - общий, ∠FEC = ∠SQC (соответственные углы при параллельных прямых EF и SQ и секущей FC).

Следовательно, треугольники FSQ и FEC подобны по двум углам (1 признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: FS/FE = SQ/EC = FQ/FC.

FS/FE = SQ/EC, FE = (FS * EC)/SQ.

Для нахождения EC рассмотрим треугольники FCE и SCQ.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: FC/SC = EC/QC = FE/SQ.

Рассмотрим FS = FC + CS, FC = FS - CS, FC = 13 - 5 = 8 см.

FC/SC = FE/SQ, FE = (FC * SQ)/SC, FE = (8 * 15)/5 = 24 см.

Ответ: а) FC:CS=EC:CQ, б) 24 см