На рисунке изображен график y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-3; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-2;15].

Решение:

Точки максимума функции \(f(x)\) соответствуют точкам, где график производной \(f'(x)\) пересекает ось \(Ox\) сверху вниз (производная меняет знак с плюса на минус).

Рассмотрим график на отрезке \([-2; 15]\):

• При \(x = -2\), \(f'(x) < 0\).
• При \(x \approx -1\), \(f'(x)\) переходит с \(-\) на \(+\). Это точка минимума.
• При \(x \approx 2\), \(f'(x)\) переходит с \(+\) на \(-\). Это точка максимума.
• При \(x \approx 5\), \(f'(x)\) переходит с \(-\) на \(+\). Это точка минимума.
• При \(x \approx 8\), \(f'(x)\) переходит с \(+\) на \(-\). Это точка максимума.
• При \(x \approx 11\), \(f'(x)\) переходит с \(-\) на \(+\). Это точка минимума.
• При \(x \approx 14\), \(f'(x)\) переходит с \(+\) на \(-\). Это точка максимума.
• При \(x = 15\), \(f'(x) < 0\).

На отрезке \([-2; 15]\) есть три точки, где производная меняет знак с \(+\) на \(-\).

Ответ: 3.