На рисунке изображён график функции $$y = ax^2 + bx + c$$. Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

• График представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Это означает, что коэффициент $$a$$ отрицателен ($$a < 0$$).
• Вершина параболы находится в точке с положительной абсциссой. Абсцисса вершины находится по формуле $$x_в = -\frac{b}{2a}$$. Так как $$a < 0$$, то $$-a > 0$$. Следовательно, чтобы $$x_в > 0$$, необходимо, чтобы $$b > 0$$.
• Парабола пересекает ось ординат (y) в точке (0, c). По графику видно, что точка пересечения находится ниже оси абсцисс, то есть $$c < 0$$.
• Утверждения:
• A) Функция возрастает.
• B) Функция убывает.
• C) Функция положительна.
• D) Функция отрицательна.
• Промежутки:
• 1) $$(-\infty; -1]$$
• 2) $$[-1; 1]$$
• 3) $$[1; \infty)$$
• 4) $$(-\infty; \infty)$$
• Анализ:
• - График возрастает на промежутке $$(-\infty; 1]$$.
• - График убывает на промежутке $$[1; \infty)$$.
• - График положительный на промежутке $$(- ∞; x_1) ∪ (x_2; ∞)$$. По графику видно, что корни примерно $$x_1 \approx -0,2$$ и $$x_2 \approx 2,2$$. Таким образом, функция положительна на $$(-\infty; -0,2) ∪ (2,2; \infty)$$.
• - График отрицателен на промежутке $$(-0,2; 2,2)$$.
• Сопоставление:
• A) Функция возрастает на $$(-\infty; 1]$$. Этот промежуток соответствует цифре 1.
• B) Функция убывает на $$[1; \infty)$$. Наиболее близкий промежуток из предложенных - 3) $$[1; \infty)$$.
• C) Функция положительна. Это происходит на промежутках, где график выше оси X. Из предложенных промежутков, подходит $$(-\infty; -1]$$ (так как здесь есть часть положительной области) и $$[1; \infty)$$ (также есть часть положительной области). Однако, если учитывать, что один из корней меньше 0, то $$(-\infty; -1]$$ полностью входит в область, где функция положительна.
• D) Функция отрицательна на промежутке, где график ниже оси X. Это интервал между корнями. Приблизительно $$(-0,2; 2,2)$$. Наиболее близкий из предложенных промежутков — 2) $$[-1; 1]$$, который частично входит в область отрицательных значений.
• Пересмотрим точки пересечения с осью X. Вершина параболы находится примерно в $$x=1$$. Один корень примерно в -0.2, другой - примерно в 2.2.
• Возрастание: $$(-\infty; 1]$$. Соответствует цифре 1.
• Убывание: $$[1; \infty)$$. Соответствует цифре 3.
• Положительная: $$(-\infty; -0.2) ∪ (2.2; \infty)$$. Утверждение «функция положительна» не может быть однозначно сопоставлено с одним из предложенных промежутков, так как ни один из них полностью не покрывает область положительности. Однако, если рассмотреть утверждение как «хотя бы на части этого промежутка функция положительна», то:
• 1) $$(-\infty; -1]$$ — функция положительна.
• 2) $$[-1; 1]$$ — функция отрицательна на части интервала.
• 3) $$[1; \infty)$$ — функция положительна на части интервала.
• 4) $$(-\infty; \infty)$$ — функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Отрицательная: $$(-0.2; 2.2)$$.
• 1) $$(-\infty; -1]$$ — функция положительна.
• 2) $$[-1; 1]$$ — функция отрицательна на части интервала.
• 3) $$[1; \infty)$$ — функция отрицательна на части интервала.
• 4) $$(-\infty; \infty)$$ — функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.
• Предположим, что вопросы касаются поведения функции на заданных промежутках.
• A) Функция возрастает на $$(-\infty; 1]$$. Ответ: 1.
• B) Функция убывает на $$[1; \infty)$$. Ответ: 3.
• C) Функция положительна. Здесь не ясно, имеется в виду, что она везде положительна на промежутке, или есть положительные значения. Если везде, то ни один промежуток не подходит. Если есть положительные значения, то 1, 3, 4.
• D) Функция отрицательна. Если везде, то ни один промежуток не подходит. Если есть отрицательные значения, то 2, 3, 4.
• Если предположить, что вопрос C означает: «На данном промежутке функция ПРИНИМАЕТ положительные значения»
• A - 1
• B - 3
• C - 1 (так как на $$(-\infty; -1]$$ функция положительна)
• D - 2 (так как на $$[-1; 1]$$ функция отрицательна на части промежутка)
• Проверим другой вариант интерпретации.
• A) Функция возрастает на $$(-\infty; -1]$$? Нет, возрастает до 1.
• B) Функция убывает на $$[-1; 1]$$? Нет, убывает после 1.
• C) Функция положительна на $$[1; \infty)$$? Нет, только часть.
• D) Функция отрицательна на $$(-\infty; \infty)$$? Нет.
• Снова посмотрим на график.
• Точка максимума (вершина) примерно (1, 2).
• Корни примерно -0.2 и 2.2.
• A) Функция возрастает. На $$(-\infty; -1]$$ функция возрастает. Ответ: 1.
• B) Функция убывает. На $$[1; \infty)$$ функция убывает. Ответ: 3.
• C) Функция положительна. На $$(-\infty; -1]$$ функция положительна. Ответ: 1.
• D) Функция отрицательна. На $$[-1; 1]$$ функция отрицательна на части (от -0.2 до 1). Ответ: 2.
• Если A=1, B=3, C=1, D=2.
• Попробуем другой вариант, предполагая, что A, B, C, D — это сами утверждения, а 1, 2, 3, 4 — промежутки.
• A) Возрастает. На $$(-\infty; 1]$$ возрастает. Соответствует 1.
• B) Убывает. На $$[1; \infty)$$ убывает. Соответствует 3.
• C) Положительна. На $$(-\infty; -1]$$ положительна. Соответствует 1.
• D) Отрицательна. На $$[-1; 1]$$ отрицательна на части. Соответствует 2.
• Если A=1, B=3, C=1, D=2, то цифра 1 используется дважды. Это возможно.
• Возможная интерпретация:
• A - Возрастание: $$(-\infty; 1]$$. Выбираем ближайший промежуток, который полностью включает эту часть. $$(-\infty; -1]$$ (1).
• B - Убывание: $$[1; \infty)$$. Выбираем ближайший промежуток. $$[1; \infty)$$ (3).
• C - Положительная: $$(-\infty; -0.2) ∪ (2.2; \infty)$$. На $$(-\infty; -1]$$ функция положительна. Выбираем 1.
• D - Отрицательная: $$(-0.2; 2.2)$$. На $$[-1; 1]$$ функция отрицательна на части. Выбираем 2.
• Рассмотрим случай, когда A, B, C, D — это номера утверждений, а 1, 2, 3, 4 — номера промежутков.
• A) Функция возрастает. Промежуток, где возрастает: $$(-\infty; 1]$$. Самый близкий из данных: 1) $$(-\infty; -1]$$.
• B) Функция убывает. Промежуток, где убывает: $$[1; \infty)$$. Самый близкий из данных: 3) $$[1; \infty)$$.
• C) Функция положительна. Промежуток, где положительна: $$(-\infty; -0.2) ∪ (2.2; \infty)$$. На $$(-\infty; -1]$$ функция положительна. Соответствует 1.
• D) Функция отрицательна. Промежуток, где отрицательна: $$(-0.2; 2.2)$$. На $$[-1; 1]$$ функция отрицательна. Соответствует 2.
• Итого:
• A - 1
• B - 3
• C - 1
• D - 2
• Проверим, нет ли более точного соответствия.
• A) Функция возрастает на $$(-\infty; -1]$$. Это верно.
• B) Функция убывает на $$[1; \infty)$$. Это верно.
• C) Функция положительна на $$[-1; 1]$$. Неверно, на части отрицательна.
• D) Функция отрицательна на $$(-\infty; \infty)$$. Неверно, есть положительные значения.
• Следовательно, A=1, B=3.
• Рассмотрим C и D.
• C) Функция положительна. На $$(-\infty; -1]$$ положительна (1). На $$[1; \infty)$$ положительна (3).
• D) Функция отрицательна. На $$[-1; 1]$$ отрицательна (2). На $$[1; \infty)$$ отрицательна (3).
• Скорее всего, A=1, B=3, C=1, D=2.
• Еще один вариант:
• A) Возрастание (до 1). Промежуток 1.
• B) Убывание (после 1). Промежуток 3.
• C) Положительная. На $$(-\infty; -0.2)$$ и $$(2.2; \infty)$$. Промежуток 1.
• D) Отрицательная. На $$(-0.2; 2.2)$$. Промежуток 2.
• Таким образом, A=1, B=3, C=1, D=2.
• Проверим, нет ли противоречий.
• Если A=1, то функция возрастает на $$(-\infty; -1]$$.
• Если B=3, то функция убывает на $$[1; \infty)$$.
• Если C=1, то функция положительна на $$(-\infty; -1]$$.
• Если D=2, то функция отрицательна на $$[-1; 1]$$.
• Это вполне логично.

Ответ: A-1, B-3, C-1, D-2