На рисунке каждая из трех окружностей проходит через центр двух остальных. Найдите площадь красной фигуры, если радиусы проведенных окружностей равны 2. S =

Ответ: \[2\sqrt{3} - \frac{\pi}{2} \]

Решение:

1. Площадь равностороннего треугольника со стороной, равной радиусу окружности (2): \[S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\]
2. Площадь сектора круга с углом 60 градусов (\(\frac{\pi}{3}\) радиан): \[S_{\text{сектора}} = \frac{1}{6} \pi r^2 = \frac{1}{6} \pi (2)^2 = \frac{2\pi}{3}\]
3. Площадь сегмента круга: \[S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} - \frac{1}{2}r^2\sin(\theta) = \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2}(2)^2\sin(60^\circ) = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}\]
4. Площадь красной фигуры: \[S = 2S_{\text{сегмента}} - S_{\triangle} = 2\left(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}\right) - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}\]

Ответ: \[2\sqrt{3} - \frac{\pi}{2} \]