На рисунке m ∥ α, P ∈ α. Докажите, что в плоскости α существует прямая, проходящая через точку P и параллельная прямой m. Доказательство. Прямая m и не лежащая в плоскости α точка P задают некоторую плоскость β. Так как P ∈ α и P ∈ β, то, согласно теореме о пересечении двух плоскостей, плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой q, проходящей через точку P. Докажем, что q — искомая прямая. Плоскость β проходит через прямую m, параллельную плоскости α, и пересекает плоскость α по прямой q, следовательно, m ∥ q.

Точка P не лежит на прямой m, так как P принадлежит плоскости α, а m ∥ α. Поэтому прямая m и точка P задают плоскость β.

Плоскости α и β имеют общую точку P, значит, пересекаются по прямой q, проходящей через P. В плоскости β прямая m параллельна плоскости α, а β пересекает α по прямой q. Следовательно, m ∥ q.

Ответ: в плоскости α существует прямая q, проходящая через P и параллельная m.