На рисунке MK || AC. a) Найдите AB, если AM = 18 см, BC : BK = 3 : 2; б) Найдите BK, если BM = 12 см, AM : KC = 4 : 5.

Эта задача на применение теоремы Фалеса и свойств подобных треугольников. a) Дано: $$AM = 18$$ см, $$\frac{BC}{BK} = \frac{3}{2}$$. Нужно найти $$AB$$. Так как $$MK || AC$$, то $$\triangle BMK \sim \triangle BAC$$ (по двум углам). Следовательно, $$\frac{BK}{BC} = \frac{BM}{BA}$$. Из условия $$\frac{BC}{BK} = \frac{3}{2}$$ следует, что $$\frac{BK}{BC} = \frac{2}{3}$$. Тогда $$\frac{BM}{BA} = \frac{2}{3}$$. Пусть $$BM = 2x$$, тогда $$BA = 3x$$. Известно, что $$AM = BA - BM = 3x - 2x = x$$. Так как $$AM = 18$$ см, то $$x = 18$$. Следовательно, $$AB = 3x = 3 \cdot 18 = 54$$ см. б) Дано: $$BM = 12$$ см, $$\frac{AM}{KC} = \frac{4}{5}$$. Нужно найти $$BK$$. Аналогично, $$\frac{BK}{BC} = \frac{BM}{BA}$$. Пусть $$AM = 4y$$, тогда $$KC = 5y$$. Тогда $$BA = BM + AM = 12 + 4y$$ и $$BC = BK + KC$$. Из $$\frac{BK}{BC} = \frac{BM}{BA}$$ следует, что $$\frac{BK}{BK+5y} = \frac{12}{12+4y}$$. Преобразуем это уравнение: $$BK(12 + 4y) = 12(BK + 5y)$$ $$12BK + 4yBK = 12BK + 60y$$ $$4yBK = 60y$$ $$BK = \frac{60y}{4y} = 15$$ см. Ответ: a) 54 см; б) 15 см.