В ∆ ABC проведена биссектриса AK и отрезок KM, параллельный стороне AC, где точка M принадлежит стороне AB, MB = 6 см, BK : KC = 2 : 3. Найдите: a) отрезок AM; б) отрезок MK.

Эта задача на применение свойств биссектрисы треугольника и теоремы Фалеса. a) Дано: $$MB = 6$$ см, $$\frac{BK}{KC} = \frac{2}{3}$$. Нужно найти $$AM$$. Так как $$AK$$ - биссектриса $$\angle BAC$$, то по свойству биссектрисы $$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{KC} = \frac{2}{3}$$. Поскольку $$KM || AC$$, то $$\angle MKA = \angle CAK$$ как накрест лежащие углы. Так как $$\angle CAK = \angle MAK$$, то $$\angle MKA = \angle MAK$$. Следовательно, $$\triangle AMK$$ - равнобедренный, и $$AM = MK$$. Также, так как $$KM || AC$$, то $$\frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC} = \frac{2}{3}$$. Пусть $$AM = x$$, тогда $$\frac{6}{x} = \frac{2}{3}$$. Отсюда $$2x = 18$$, и $$x = 9$$ см. б) Нужно найти $$MK$$. Из предыдущего пункта мы знаем, что $$\triangle AMK$$ - равнобедренный, и $$AM = MK$$. Значит, $$MK = 9$$ см. Ответ: a) 9 см; б) 9 см.