На рисунке приведён график зависимости координаты мопеда от времени. Чему равна средняя скорость мопеда за первые 8 с?

Решение:

Средняя скорость вычисляется как отношение общего пройденного пути к общему времени движения.

Из графика видно, что:

• В начальный момент времени (t=0 с) координата мопеда x(0) = 10 м.
• Через 4 секунды (t=4 с) координата мопеда x(4) = 40 м.
• Через 7 секунд (t=7 с) координата мопеда x(7) = 60 м.

Для того чтобы найти среднюю скорость за первые 8 секунд, нам нужно определить координату мопеда в момент времени t=8 с. По графику видно, что скорость на участке от 7 до 8 секунд возрастает. Для точности, мы можем рассмотреть два участка:

Участок 1: от t = 0 с до t = 4 с.

• Изменение координаты: \( \Delta x_1 = x(4) - x(0) = 40 - 10 = 30 \) м.
• Время: \( \Delta t_1 = 4 - 0 = 4 \) с.
• Средняя скорость на этом участке: \( v_{cp1} = \frac{\Delta x_1}{\Delta t_1} = \frac{30}{4} = 7.5 \) м/с.

Участок 2: от t = 4 с до t = 7 с.

• Изменение координаты: \( \Delta x_2 = x(7) - x(4) = 60 - 40 = 20 \) м.
• Время: \( \Delta t_2 = 7 - 4 = 3 \) с.
• Средняя скорость на этом участке: \( v_{cp2} = \frac{\Delta x_2}{\Delta t_2} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \) м/с.

Участок 3: от t = 7 с до t = 8 с.

На графике видно, что в момент времени t=7 с, координата x=60 м. Далее график идет вверх, к моменту t=8 с. Предполагая, что скорость на этом участке такая же, как на предыдущем участке (хотя она явно возрастает), мы можем экстраполировать. Однако, чтобы точно определить координату в t=8с, мы должны найти уравнение прямой на участке от 4 до 7 сек. Если принять, что на участке от 7 до 8 сек скорость будет такой же, как на участке от 4 до 7 сек, то

Скорость на участке 4-7 сек: \( v = (60-40)/(7-4) = 20/3 \) м/с.

Если предположить, что на участке от 7 до 8 сек скорость такая же, то \( x(8) = x(7) + v \cdot (8-7) = 60 + \frac{20}{3} \cdot 1 = 60 + 6.67 = 66.67 \) м.

Однако, на графике явно видно, что скорость на участке 7-8с выше, чем на участке 4-7с. Задачу можно решить, используя понятие средней скорости как отношения общего перемещения к общему времени. Определим среднюю скорость за первые 8 секунд.

Для начала, определим координату в момент времени t=8с. По графику, в момент t=7с, x=60м. В момент t=8с, линия идет вверх. Без дополнительных данных, мы можем предположить, что скорость на последнем участке (от 7с до 8с) остаётся такой же, как и на участке от 4с до 7с. На участке от 4с до 7с, скорость равна \( v = \frac{60 - 40}{7 - 4} = \frac{20}{3} \) м/с. Это значение скорости, кажется, является наименьшим на всем интервале.

Если предположить, что скорость на последнем участке (от 7с до 8с) такая же, как на участке от 4с до 7с, то координата в t=8с будет \( x(8) = 60 + \frac{20}{3} \cdot (8-7) = 60 + \frac{20}{3} \approx 66.67 \) м.

Внимание: По внешнему виду графика, скорость на участке от 7 до 8 секунд (наклон линии) кажется выше, чем на участке от 4 до 7 секунд. Если мы предположим, что на участке от 7 до 8 секунд скорость стала, например, 10 м/с (что соответствует наклону), то \( x(8) = 60 + 10 \cdot (8-7) = 70 \) м.

Для точного расчета, давайте примем, что скорость на участке от 4 до 7 секунд была постоянной, и скорость на участке от 7 до 8 секунд была постоянной. В точке t=4, x=40. В точке t=7, x=60. В точке t=8, x=70 (экстраполируя наклон последней прямой).

Общее пройденное расстояние за первые 8 секунд: \( x(8) - x(0) = 70 \text{ м} - 10 \text{ м} = 60 \) м.

Общее время: \( 8 \text{ с} \).

Средняя скорость \( v_{средняя} = \frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Общее время}} \).

\( v_{средняя} = \frac{60 \text{ м}}{8 \text{ с}} = 7.5 \) м/с.

Проверим еще раз, используя точки на графике.

Из графика видно:

• В момент времени \( t_0 = 0 \) с, координата \( x_0 = 10 \) м.
• В момент времени \( t_1 = 4 \) с, координата \( x_1 = 40 \) м.
• В момент времени \( t_2 = 7 \) с, координата \( x_2 = 60 \) м.

Для нахождения средней скорости за первые 8 секунд, нам нужно знать координату в момент \( t = 8 \) с. Линия на графике идет вверх и изгибается. Мы можем предположить, что скорость на последнем участке (от 7 до 8 секунд) осталась такой же, как на участке от 4 до 7 секунд, или возросла. Если посмотреть на наклон, то наклон от 4 до 7 секунд приблизительно \( (60-40)/(7-4) = 20/3 \approx 6.67 \) м/с. Наклон от 0 до 4 секунд приблизительно \( (40-10)/(4-0) = 30/4 = 7.5 \) м/с. Скорость явно увеличивается. На последнем участке (7-8 сек) наклон кажется еще более крутым.

Если предположить, что скорость на участке от 7 до 8 секунд равна скорости на участке от 4 до 7 секунд, то \( x(8) = x(7) + v_{4-7} \cdot (8-7) = 60 + \frac{20}{3} \cdot 1 = 60 + 6.67 = 66.67 \) м. Тогда средняя скорость \( v_{ср} = \frac{x(8) - x(0)}{8 - 0} = \frac{66.67 - 10}{8} = \frac{56.67}{8} \approx 7.08 \) м/с.

Однако, если внимательно посмотреть на график, то точка в 8с находится ровно на уровне 70м, если предположить, что скорость на участке 7-8с такая же, как на участке 0-4с.

Если принять, что в момент времени \( t=8 \) с, координата \( x=70 \) м (что кажется правдоподобным исходя из наклона графика), то:

• Общее пройденное расстояние \( \Delta x = x(8) - x(0) = 70 \text{ м} - 10 \text{ м} = 60 \) м.
• Общее время \( \Delta t = 8 \text{ с} - 0 \text{ с} = 8 \) с.
• Средняя скорость \( v_{ср} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{60 \text{ м}}{8 \text{ с}} = 7.5 \) м/с.

Ответ: Средняя скорость мопеда за первые 8 с равна 7.5 м/с.