На самоподготовку. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Диагонали основания AC и BD пересекаются в точке O. Найдите сечение куба плоскостью α, проходящей через точку A перпендикулярно прямой A₁O.

Обозначим через P и Q середины рёбер BB₁ и DD₁ соответственно.

Введём координаты: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1). Тогда O(0,5; 0,5; 0), а направляющий вектор прямой A₁O равен (0,5; 0,5; −1). Этот вектор является нормальным к плоскости α.

Так как плоскость проходит через A, её уравнение: 0,5x + 0,5y − z = 0, то есть z = (x + y)/2.

На ребре BB₁ имеем x = 1, y = 0, поэтому z = 0,5: точка P — середина BB₁. На ребре DD₁ получаем аналогично точку Q — середину DD₁. Плоскость также проходит через A и C₁. Эти четыре точки образуют сечение.

Ответ: сечение — четырёхугольник APC₁Q, где P и Q — середины рёбер BB₁ и DD₁.