На самоподготовку. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. На рёбрах AA₁ и BC отмечены точки M и N соответственно, причём AM : MA₁ = 2 : 1, а N — середина BC. Найдите сечение куба плоскостью (DMN).

Пусть ребро куба равно 1. Возьмём координаты A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), а вертикальную координату направим к верхней грани. Тогда M(0; 0; 2/3), поскольку AM : MA₁ = 2 : 1, и N(1; 0,5; 0), поскольку N — середина BC.

Плоскость через D, M, N имеет уравнение x + 2y + 3z = 2. Её пересечения с рёбрами куба: D; M на AA₁; N на BC; и точка P на BB₁. Для P имеем x = 1, y = 0, поэтому 1 + 3z = 2, откуда z = 1/3.

Следовательно, точки пересечения плоскости с гранями идут по контуру D–M–P–N–D, образуя четырёхугольник.

Ответ: сечение — четырёхугольник DMPN, где P ∈ BB₁ и BP = ⅓ BB₁.