На самоподготовку. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, точка K — середина ребра AA₁. Постройте сечение куба плоскостью α, проходящей через точки K и B параллельно диагонали A₁C.

Зададим координаты куба: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1). Тогда K(0; 0; 0,5), а направляющий вектор диагонали A₁C равен (1; 1; −1).

Плоскость проходит через B и K и параллельна A₁C, поэтому её направляющие векторы можно взять (−1; 0; 0,5) и (1; 1; −1). Уравнение плоскости: x + 2y + 2z = 1.

На ребре BB₁ плоскость пересекает ребро в B. На ребре AA₁ она проходит через K. На ребре DD₁ пересечение находится при y = 1, x = 0: z = −0,5, вне куба; на ребре CC₁ пересечение получается при x = y = 1: z = −1, также вне куба. На грани ABB₁A₁ плоскость задаёт отрезок BK. Параллельность диагонали A₁C даёт пересечение грани BCC₁B₁ в точке середины B₁C₁? Проверим: при x = 1 уравнение даёт y + z = 0, значит только B; следовательно, заданная плоскость пересекает куб лишь по отрезку BK.

Условие геометрически противоречиво для требуемого сечения: плоскость через B и K, параллельная A₁C, касается куба по ребру BK и не даёт многоугольного сечения. При стандартном прочтении данных получается только отрезок BK, а не сечение-полигон.

Ответ: пересечение куба с указанной плоскостью — отрезок BK; проверьте, верно ли прочитано условие о параллельности диагонали A₁C.