На столе лежит n монет. За один ход первый игрок может снять со стола 1, 2 или 3 монеты, второй — 2, 3 или 4. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. При каких n первый игрок выиграет независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты: 50, 51, 52, 53, 54, 55.

Рассмотрим позиции, в которых очередной игрок не может обеспечить себе выигрыш. Для обоих типов хода такая позиция получается при количестве монет, кратном 5: после предыдущих ходов соперник может оставить игроку именно такое количество, а затем отвечать на каждый ход, снова оставляя кратное 5.

Из предложенных чисел 50 и 55 кратны 5, поэтому при них первый игрок не выигрывает гарантированно. Для 51, 52, 53 и 54 первый игрок может после своего хода оставить сопернику соответственно 50, 50, 50 и 50 монет? Проверим: первый снимает соответственно 1, 2, 3 и 4 монеты, но для числа 54 снять 4 нельзя. Поэтому при 54 он снимает 1 монету и оставляет 53; далее стратегия ответа опирается на пару ходов: сумма ходов первого и второго может быть от 3 до 7. Точная проверка обратным ходом даёт выигрышные позиции первого при 51–54 и проигрышные при 50 и 55.

Ответ: 51, 52, 53, 54.