Задание 6. У ослика Иа-Иа есть 4 палочки длиной 4 см, 5 палочек длиной 5 см и 9 палочек длиной 9 см. Сколькими способами можно выбрать три палочки, из которых можно сложить треугольник? Все палочки считаем различными.

Обозначим числа палочек длиной 4, 5 и 9 см соответственно через \(a,b,c\). Условие существования треугольника: сумма длин двух меньших палочек строго больше длины третьей.

Возможные наборы длин:

• 4, 4, 4 — подходят: \(\binom{4}{3}=4\) способа.
• 4, 4, 5 — подходят: \(\binom{4}{2}\cdot5=30\) способов.
• 4, 5, 5 — подходят: \(4\cdot\binom{5}{2}=40\) способов.
• 5, 5, 5 — подходят: \(\binom{5}{3}=10\) способов.
• 4, 9, 9 — подходят: \(4\cdot\binom{9}{2}=144\) способа.
• 5, 9, 9 — подходят: \(5\cdot\binom{9}{2}=180\) способов.

Другие наборы не подходят: например, для 4, 5, 9 сумма двух меньших равна 9, а должна быть строго больше; для наборов с двумя короткими палочками и палочкой 9 сумма меньших не превосходит 9.

Суммируем: \(4+30+40+10+144+180=408\).

Ответ: 408 способов.