Задание 8. Решите уравнение \([x]\cdot\{x\}=11x\), где \([x]\) — целая часть числа x (наибольшее целое число, не превосходящее x), а \(\{x\}=x-[x]\) — дробная часть числа x. Укажите все подходящие корни.

Положим \([x]=m\), где \(m\) — целое число, а \(\{x\}=f\), где \(0\le f<1\). Тогда \(x=m+f\), и уравнение принимает вид \(mf=11(m+f)\), то есть \(f(m-11)=11m\).

Если \(m=11\), равенство невозможно. При \(m=0\) получаем \(f=0\), поэтому \(x=0\). Если \(m<0\), допустимое значение находится при \(m=-1\): тогда \(f=11/12\), и \(x=-1+11/12=-1/12\). Для остальных целых m условие \(0\le f<1\) не выполняется.

Проверка: при \(x=0\) обе части равны 0; при \(x=-1/12\), \([x]=-1\), \(\{x\}=11/12\), и обе части равны \(-11/12\).

Ответ: \(x=0\) и \(x=-\frac{1}{12}\).