На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяли произвольные точки M, K и E (рис. 5.15). Докажите, что отрезок BE обязательно пересечёт прямую MK.

Точки M и K лежат соответственно на сторонах AB и BC. Поэтому отрезок MK внутри треугольника соединяет две его стороны и разделяет вершину B от стороны AC. Точка E лежит на AC, значит, B и E находятся по разные стороны от прямой MK. Следовательно, отрезок BE пересекает прямую MK.

Если M совпадает с A, K совпадает с B или E находится в особом положении, пересечение может приходиться на общую точку или совпадать с концом; утверждение о пересечении остаётся верным.

Что и требовалось доказать.