На сторонах AB и AC равностороннего треугольника ABC отмечены X и Y такие, что BX = AY. Чему может быть равна сумма углов ABY и ACX?

Обозначим \(\angle ABY=\alpha\), \(\angle ACX=\gamma\), а длину стороны треугольника — через \(s\). Пусть \(AY=BX=t\). Тогда \(AB=AC=s\), \(AX=s-t\), а углы при вершине A в треугольниках ABY и ACX равны 60°.

1. По теореме синусов в треугольнике ABY: \(\frac{t}{s}=\frac{\sin\alpha}{\sin(60^\circ+\alpha)}\).
2. В треугольнике ACX: \(\frac{s-t}{s}=\frac{\sin\gamma}{\sin(60^\circ+\gamma)}\).
3. При \(\gamma=60^\circ-\alpha\) сумма правых частей равна 1, поскольку \(\sin\alpha+\sin(60^\circ-\alpha)=\sin(60^\circ+\alpha)\). Значит, \(\frac{t}{s}+\frac{s-t}{s}=1\), как и требуется. Функция \(\frac{\sin x}{\sin(60^\circ+x)}\) возрастает при \(0^\circ\le x\le60^\circ\), поэтому это значение \(\gamma\) определяется однозначно.

Следовательно, \(\alpha+\gamma=60^\circ\).

Ответ: 60°.