На сторонах АВ и CD прямоугольника ABCD взяты точки К и М так, что АКСМ - ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3.

Пусть прямоугольник $$ABCD$$, где $$AB = 3$$ - наибольшая сторона. На сторонах $$AB$$ и $$CD$$ взяты точки $$K$$ и $$M$$ так, что $$AKCM$$ - ромб. $$\angle BAC = 30^{\circ}$$. Требуется найти сторону ромба $$AK$$.

Поскольку $$\angle BAC = 30^{\circ}$$, то $$BC = AB \cdot \tan 30^{\circ} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$. Таким образом, $$AKCM$$ - ромб со стороной $$AK = AC = 2 \cdot BC = 2 \sqrt{3}$$, тогда $$AK=AC$$.

$$\angle KAC = \angle MCB$$. $$AKCM$$ ромб. $$\angle AKC = \angle AMC$$. $$AC$$ - диагональ прямоугольника $$ABCD$$, $$\angle BAC = 30^{\circ}$$, значит, $$AC = BC / \sin 30^{\circ} = \sqrt{3} / (1/2) = 2 \sqrt{3}$$. Таким образом, $$AK = AC = 2\sqrt{3}$$.

Ответ: Сторона ромба равна $$2\sqrt{3}$$.