Прямая, проходящая через центр прямоугольника перпендикулярно диагонали, пересекает большую сторону прямоугольника под углом 60°. Отрезок этой прямой, заключенный внутри прямоугольника, равен 10. Найдите большую сторону прямоугольника.

Обозначим прямоугольник $$ABCD$$, где $$AB$$ - большая сторона. Пусть прямая, проходящая через центр прямоугольника $$O$$ перпендикулярно диагонали $$AC$$, пересекает стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Тогда $$EF = 10$$. Так как $$EF$$ перпендикулярна $$AC$$, то $$angle AEO = 90^{circ}$$. Угол между $$AE$$ и $$AB$$ равен $$60^{circ}$$, следовательно, $$angle EAB = 60^{circ}$$.

Рассмотрим треугольник $$AEO$$. $$angle EAO = 90^{circ} - 60^{circ} = 30^{circ}$$. Пусть $$AO = x$$, тогда $$AE = AO \cdot \cos 30^{circ} = x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$EO = AO \cdot \sin 30^{circ} = \frac{x}{2}$$. Так как $$O$$ - центр прямоугольника, то $$AC = 2x$$.

Так как диагональ прямоугольника равна $$2x$$, то $$AD = AC \cdot \sin 60^{circ} = 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = x\sqrt{3}$$.

Рассмотрим треугольник $$EBO$$. $$\angle EBO = 90^{circ} - \angle AEO = 30^{circ}$$. Значит, $$EB = EO \cdot \cos 30^{circ} = \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x\sqrt{3}}{4}$$.

Поскольку $$EF=10$$, $$EO=OF=5$$. Тогда $$BO = EO / \cos 30^{\circ} = 5 / (\sqrt{3} / 2) = 10 / \sqrt{3} = (10\sqrt{3}) / 3$$.

Так как $$BO = x$$, то $$x = (10 \sqrt{3}) / 3$$. Тогда $$AD = x \sqrt{3} = ((10 \sqrt{3}) / 3) \sqrt{3} = (10 \cdot 3) / 3 = 10$$.

Теперь найдем $$AB$$. $$AB = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} = \sqrt{(2x)^{2} - (x\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{4x^{2} - 3x^{2}} = \sqrt{x^{2}} = x = (10\sqrt{3})/3$$.

Ошибка в решении. Вернемся к условию. Пусть центр прямоугольника $$O$$. $$angle EAB = 60^{\circ}$$. Тогда в треугольнике $$AEO$$, $$\angle AOE = 30^{\circ}$$. Пусть $$AE = y$$. Тогда $$AO = \frac{y}{\cos 30^{\circ}} = \frac{2y}{\sqrt{3}}$$, $$EO = \frac{y}{\tan 60^{\circ}} = \frac{y}{\sqrt{3}}$$.

Так как $$EF=10$$, то $$EO = 5$$, следовательно, $$y = 5 \sqrt{3}$$. Тогда $$AO = \frac{2(5\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = 10$$. Диагональ $$AC = 2 \cdot AO = 20$$.

$$\angle CAB = 30^{\circ}$$, так как $$AC$$ перпендикулярен $$EF$$. $$AB = AC \cdot \cos 30^{\circ} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$$.

Ответ: Большая сторона прямоугольника равна $$10\sqrt{3}$$.