Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: На сторонах параллелограмма ABCD (рис.) отложены равные отрезки AM, BK, CE и DF. Докажите, что четырёхугольник MKEF —…Фото задания

Ответ:

Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}\) и \(\overrightarrow{AD}=\mathbf{v}\). Пусть \(x=AM/AB\), а \(y=BK/BC\). В параллелограмме AB = CD и BC = AD; из равенства отрезков AM = CE и BK = DF следует, что CE/CD = x и DF/DA = y.

  1. Выразим положения точек через \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\), считая A началом координат:
    M = x\(\mathbf{u}\);
    K = \(\mathbf{u}\) + y\(\mathbf{v}\);
    E = (1 − x)\(\mathbf{u}\) + \(\mathbf{v}\);
    F = (1 − y)\(\mathbf{v}\).
  2. Сложим векторы положения концов диагоналей:
    M + E = x\(\mathbf{u}\) + (1 − x)\(\mathbf{u}\) + \(\mathbf{v}\) = \(\mathbf{u}\) + \(\mathbf{v}\);
    K + F = \(\mathbf{u}\) + y\(\mathbf{v}\) + (1 − y)\(\mathbf{v}\) = \(\mathbf{u}\) + \(\mathbf{v}\).
  3. Равенство сумм показывает, что середины отрезков ME и KF совпадают. Это диагонали четырёхугольника MKEF.

Следовательно, диагонали MKEF делятся пополам, а значит, MKEF — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.