169 На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены равные отрезки AD, ВЕ И СР, как показано на рисунке 99. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF равносторонний.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться свойствами равносторонних треугольников и признаками равенства треугольников.

1. В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны. Следовательно, $$AB = BC = CA$$ и $$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$$.

2. По условию, $$AD = BE = CF$$.

3. Тогда $$BD = AB - AD$$, $$CE = BC - BE$$, $$AF = AC - CF$$. Так как $$AB = BC = CA$$ и $$AD = BE = CF$$, то $$BD = CE = AF$$.

4. Рассмотрим треугольники $$ADF$$, $$BED$$ и $$CFE$$. У них: $$AD = BE = CF$$, $$AF = BD = CE$$ и $$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$$. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: $$\triangle ADF = \triangle BED = \triangle CFE$$.

5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $$DF = ED = FE$$.

6. Таким образом, треугольник $$DEF$$ - равносторонний, так как все его стороны равны.

Ответ: Треугольник DEF - равносторонний.