171 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О, точки М и N – середины отрез- ков АС и ВД. Докажите, что точка О – се- редина отрезка МN.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма и теоремой о средней линии треугольника.

1. Поскольку O – середина отрезков AB и CD, то $$AO = OB$$ и $$CO = OD$$.

2. Точки M и N – середины отрезков AC и BD соответственно.

3. Рассмотрим четырехугольник ADBC. Его диагонали AB и CD точкой O делятся пополам. Значит, ADBC - параллелограмм.

4. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны: $$AC \parallel BD$$ и $$AC = BD$$.

5. Соединим точки M и N. Рассмотрим треугольник ADC. Отрезок OM - средняя линия, так как O - середина AD, и M - середина AC. Следовательно, $$OM \parallel DC$$ и $$OM = \frac{1}{2}DC$$.

6. Аналогично, в треугольнике BCD отрезок ON - средняя линия, так как O - середина BD, и N - середина BC. Следовательно, $$ON \parallel BC$$ и $$ON = \frac{1}{2}BC$$.

7. Так как ABCD - параллелограмм, то $$DC \parallel AB$$ и $$BC \parallel AD$$. Также $$DC = AB$$ и $$BC = AD$$.

8. Из параллельности и равенства сторон следует, что OMNO - параллелограмм, и точка O - середина MN.

Ответ: Точка О – середина отрезка МN.