4*. На сторонах угла А, равного 43°, отмечены точки В и С, а внутри угла - точка D так, что ∠ABD = 137°, ∠BDC = 45°. а) Найти: ∠ACD. б) Доказать: прямые АВ и DC имеют одну общую точку.

4*. Дано: $$\angle BAC = 43^\circ$$, $$\angle ABD = 137^\circ$$, $$\angle BDC = 45^\circ$$.

a) Найти: $$\angle ACD$$.

б) Доказать, что прямые АВ и DC имеют одну общую точку.

Решение:

а) Рассмотрим $$\triangle ABD$$:

$$\angle ADB = 180^\circ - (\angle ABD + \angle BAD) = 180^\circ - (137^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 180^\circ = 0^\circ$$.

Т.к. $$\angle ADB = 0^\circ$$, то точки A, D, B лежат на одной прямой.

Т.к. точки A, D, B лежат на одной прямой, то $$\angle BDC$$ и $$\angle ADC$$ - смежные.

$$\angle ADC = 180^\circ - \angle BDC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$$.

Рассмотрим $$\triangle ADC$$:

$$\angle ACD = 180^\circ - (\angle DAC + \angle ADC) = 180^\circ - (43^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 178^\circ = 2^\circ$$.

б) Предположим, что прямые АВ и DC параллельны, тогда $$\angle BDC$$ и $$\angle ABD$$ - внутренние односторонние, сумма которых должна быть равна 180°.

Но $$\angle BDC + \angle ABD = 45^\circ + 137^\circ = 182^\circ
e 180^\circ$$, значит АВ и DC не параллельны, следовательно, прямые АВ и DC имеют одну общую точку.

Ответ: а) $$\angle ACD = 2^\circ$$. б) Прямые АВ и DC имеют одну общую точку.